LIMITES et CONTINUITE
Quelques notions de topologie.
Dans ce qui suit nous
considérons que f est une fonction quelconque.
Nous dessinons le graphe de
cette fonction et nous choisissons un point x0 sur l’axe des x dans
le domaine de définition.
Nous traçons le cercle de
centre x0 et de rayon ⍺ qui coupe l’axe des x en x0 – ⍺ et x0 + ⍺.
Nous traçons aussi le cercle
de centre y0 (y0
arbitraire sur l’axe des y) et de rayon ε qui coupe l’axe des y en y0 – ε et y0
+ ε.
Une boule fermée de rayon a (toujours positif)
centrée sur x0, est notée B(x0 ,
⍺).
Dans R c’est l’intervalle
[x0
– ⍺ ; x0
+ ⍺
]
Si la boule était ouverte
ce serait l’intervalle ] x0 – ⍺ ; x0
+ ⍺ [.
De la même façon, on peut
définir
une boule dans R2
comme un disque de centre (x0 , y0)
et une boule dansR3
comme une sphère de centre (x0 , y0 , z0).
La boule est dite ouverte ou
fermée selon qu’elle contient ou non sa frontière (les
bornes de l’intervalle, la circonférence du disque ou l’enveloppe de la
sphère).
Les bornes de l’intervalle
[x0
– ⍺ ;x0 + ⍺ ] constituent un encadrement de x0
puisqu’on a x0 – ⍺ < x0 < x0
+ ⍺.
Un boule constitue un
voisinage du point situé en son centre. Qu’est ce qu’un voisinage de
x0 ? C’est un ensemble contenant une boule ouverte contenant x0.
Dans R, n’importe quel intervalle contenant x0 constitue un
voisinage de x0. L’intérêt de choisir une boule et pas n’importe
quel voisinage, c’est qu’en faisant varier le rayon de la boule (ici ⍺) , on va pouvoir suggérer par exemple qu’on se
rapproche de x0 autant qu’on le désire quand le rayon rétrécit
(quand ⍺
diminue) .
Comment traduire le fait
que x, un réel quelconque appartient à la boule ouverte B(x0,a) ?
x ∈ B(x0
, ⍺) équivaut à |
x0 – x| < ⍺ , sur la droite R ,
la valeur absolue de x0 – x est aussi la distance de x0
à x (d(x0,x)) et cette distance est inférieure au rayon de la
boule qui est ⍺. d(x0,x) < ⍺.
Evidemment, Sur l’axe des y,
les mêmes notions ont cours : la boule ouverte de centre y1 et
de rayon ε est l’intervalle ] y0
– ε ; y0+ ε [ et elle
constitue un voisinage de y0. Il est équivalent d’écrire
f(x)∈ B(y0,
ε ) ou |
y0 – f(x)|< ε ou , si y0 = f(x0) :
d(f(x0), f(x)) < ε
Image d’une boule par f.
Dans notre exemple, la fonction étant continue et monotone
(toujours croissante) pour x ∈
B(x0 , ⍺)
on peut dire que l’image de B est l’intervalle ]f(x0 – ⍺) ; f(x0
+⍺)[ . Mais ça ne sera pas toujours le cas (imaginez que f
admette un maximum en x0) . En règle
générale, l’image d’une boule ouverte n’est pas une boule, c’est un
intervalle ou une réunion d’intervalles de l’axe des y, qui peuvent être
ouverts ou fermés selon que la fonction est monotone ou non, continue ou
non sur la boule.
Image réciproque d’une boule
Ici, si on cherche l’image
réciproque de B(f(x0) , ε) ce n’est
pas non plus forcément une boule. En règle générale c’est un intervalle de
l’axe des x ou une réunion
d’intervalles, mais tout dépend du rayon de la boule, de la continuité ou de la
monotonie de la fonction.
Imaginer l’image d’une boule
ou l’image réciproque d’une boule en fonction des particularités du graphe et
du rayon des boules, est un exercice capital pour la compréhension des notions
qui vont suivre.
En guise d’exercice remplacez
le graphe de f dans le dessin de notre
exemple par les graphes ci dessous :
Cherchez l’image de B(x0, ⍺) L’image réciproque d’une boule B(y1,ε)
et faites varier le rayon des boules.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Limite finie
de f(x) quand x tend vers x0 ,
valeur finie
Supposons que cette limite L
existe. On note
● cette limite
L existe si et seulement si, aussi petit que nous choisissions le rayon ε de
la boule B(L, ε) centrée sur L (axe des y ) il existe une
boule B (x0 , ⍺) centrée
sur x0 (axe des x) dont l’image est toute entière à
l’intérieur de B(L,ε) .
Dans
notre dessin, quel que soit le choix de L sur l’axe des y, cette condition
n’est pas réalisée. En effet l’image de la boule bleue (projetée en jaune) qui
est la réunion de 2 intervalles disjoints
ne peut être contenue dans la boule verte si on choisit son rayon ε
assez petit.
La
limite de f en X0 n’existe pas.
● Une
condition équivalente : si et seulement
si :
◙ tout ε >
0 , $ ⍺ > 0 |
|x0 – x| < ⍺ ⇒ |f(x) – L| < ε (ce qui
équivaut à f(B(x0, ⍺)) ⊂
B(f(x0) , ε) )
◙ Tout ε positif , il existe ⍺ positif tel que
le choix de x dans l’intervalle ] x0-⍺ ; x0+⍺[ implique que
f(x) se trouve dans l’intervalle ] L -ε ; L+ε[
◙ Tout ε positif, il existe ⍺ positif tel que pour tout x, d(x ,
x0) < ⍺
implique d(f(x), L) < ε .
● Si la
limite de f(x) en x = 0 est 0 (le graphe passe par l’origine)
La
condition tout (∀) ε
> 0 , il existe (∃) ⍺ > 0 | |x0 – x| < ⍺ ⇨ |f(x) – L| < ε devient
∀ ε >
0 , ∃ ⍺ > 0 | |x|
< ⍺ ⇨ |f(x)| < ε (il suffit de faire x0
= 0 et L = 0 dans la formule précédente)
● pour
appliquer ces critères, il faut que le domaine de définition de f (Df) contienne un intervalle
] x0-⍺ ;
x0+⍺[ . Même si la valeur x0
est exclue du domaine de définition.
Par
exemple pour x0 = 0 , les deux
fonctions suivantes ne sont pas définies mais:
admet pour limite 1 , n’admet pas de limite
● limite à gauche (à droite)
On
garde la boule de rayon e autour de L mais elle doit contenir l’image
d’une demie – boule autour de x0. existe si
∀ ε >
0 , ∃ ⍺ > 0 | x0
– x < ⍺ ⇨ |f(x) – L| < ε
Plus de valeur absolue autour de |x0 – x|. Pour une limite
à droite, on remplacerait x0
– x par x – x0.
● L’existence
d’une limite L de f(x) pour x ➜ x0 suppose
l’existence d’une limite à droite et à gauche et leur égalité à L.
● Théorème des gendarmes : si il existe un voisinage de
x0 au sein duquel on a
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et que g(x) = h(x) = L alors
on peut dire que f(x) = L
Par
exemple, on a et on en tire la conséquence que
● Si f(x0)
existe , alors = f(x0)
● On dit
qu’une fonction f(x) est continue en x = x0 ∈ Df si f(x0) existe et |
● Si la
fonction n’est pas définie au seul point
x0 mais qu’elle admet une limite L en ce point, on dit qu’on
la prolonge en continuité en posant
f(x0)
= L .
Par
exemple, on peut prolonger f(x) = ou f(x)= en continuité en
posant f(0) = 1.
Limites infinies de f(x)
quand x tend vers une valeur finie
Quand
on écrit, il s’agit en fait d’un
abus de langage.
On devrait dire « f(x)
tend vers +∞ quand x tend vers x0 » car l’infini
n’est pas vraiment ce qu’on peut appeler « une limite ». Cette fois, l’image d’une boule ouverte B (x0 , ⍺) centrée sur x0 doit être un intervalle de
la forme ] A, +∞ [ et plus le rayon ⍺ de la boule diminue, plus A doit devenir grand, sans
limite. Ce qu’on traduit par
si et seulement si ∀ A , ∃ ⍺ > 0 | |x0 – x| < ⍺ ⇨ f(x) > A
si et seulement si ∀ A , ∃ ⍺ > 0 | |x0 – x| < ⍺ ⇨ f(x) < A
Pour
les limites à gauche (resp. à droite) il
faut remplacer |x0 – x| par x0 –x
(resp. x–x0)
Dans
ces cas de figures, on dit que le graphe admet une asymptote
verticale.
En
voici 2 cas :
fig 1 :
quand X ➜ X0 on peut dire que
f(x )➜ +∞
fig 2
Quand
X ➜ 0
f(x)
n’a pas de limite infinie
mais
une limite à gauche
f(x)
➜ – ∞
et
une limite différente à droite
f(x)
➜ +∞
Les asymptotes
verticales sont respectivement la droite X = X0 et X = 0 .
Limites de f(x)
quand x tend vers –∞ et +∞
● Quand x et f(x) tendent tous vers + ou - ∞ , il y a plusieurs cas
de figures
X → |
lim
(fx) = +∞ |
lim
(fx) = –∞ |
+∞ |
∀ A , ∃ B | x > B ⇨
f(x) > A |
∀ A , ∃ B | x > B ⇨
f(x) < A |
–∞ |
∀ A , ∃ B | x < B ⇨
f(x) > A |
∀ A , ∃ B | x < B ⇨
f(x) < A |
Au sein de chaque
configuration on distingue encore 2 cas
◙ f (x) → vers
l’infini en se rapprochant d’une droite oblique d’équation y = ax+b.
Alors,
on dit qu’il y a une asymptote oblique.
On
doit trouver que .
◙ dans le cas contraire, il n’y a pas d’asymptote mais une branche infinie
● Quand x → ±¥ et que
f(x) → a, valeur finie. On dit qu’il y a une asymptote horizontale
X ➜ |
lim
(fx) = a |
+∞ |
∀ ε>0 , ∃ B | x >
B ⇨ |f(x) – a| < ε |
–∞ |
∀ ε>0 , ∃ B | x <
B ⇨ |f(x) – a| < ε |
Dans ce cas, l’asymptote
horizontale est la droite d’équation y = a .
● Quand
il y a une asymptote oblique ou horizontale, pour savoir si la courbe se situe
en dessus ou en dessous de la droite, il faut étudier le signe de [f(x) –
équation de la droite]
quand
x➜±∞. Asymptote oblique :il faut étudier le signe de
f(x) – (ax + b) ou asymptote horizontale le signe de f(x) – a
Comment se comporte le
produit P= AB selon que A et B tendent
vers une limite
nulle, finie (L ou
L’≠ 0) ou infinie
±∞ ?
On distingue les cas de
limite finie nulle et limite finie non nulle (L
ou L’) car selon le cas, la règle peut changer.
On étudie tous les cas de
limite de P = AB dans un tableau selon
les valeurs des limites de A et de B.
B
|
A |
0 |
L |
+∞ |
–∞ |
0
|
P➜0 |
P➜0 |
? |
? |
|
L’ |
P➜0 |
P➜LL’ |
P➜±∞ |
P➜±∞
|
|
+∞ |
? |
P➜±∞ |
P➜+∞ |
P➜–∞
|
|
–∞ |
? |
P➜±∞
|
P➜–∞
|
P➜+∞ |
Il n’y a finalement qu’un
seul cas d’indétermination ( ?) : quand l’un des facteurs tend vers 0 et l’autre vers ±∞
(A et B
« tirent en sens contraire » dans le produit)
Dans ce cas, tout dépend de
l’ordre de grandeur de A par
rapport à B.
La limite peut être selon le
cas finie, nulle , ou ±∞
Quand on indique que P➜±∞ , le signe de P
dépend en fait du signe de L ou L’.
Pour le déterminer, il suffit
d’appliquer la règle des signes. Ce n’est donc pas un cas d’indétermination.
Exemples
3x2 = +∞ (+(3)
par + par + = +) ,
3x2 =+∞ (+(3)
par – par – = + )
Mais
–3x2 = –∞ (–
(3) par + par + = − ) ,
–3x3 = +∞
(–(3) par – par – par – = +)
On appliquerait aussi cette
règle pour par exemple
[f(x).g(x)]
avec f(x)= –3 et g(x) =±∞ .
Comment se comporte la somme S = A+B selon que A et B tendent vers une limite
finie (L ou
L’
ou 0 ) ou
infinie ±∞ ?
La limite finie L (ou L’) peut
être nulle sans que la règle soit modifiée (ce qui n’est pas le cas pour le
produit).
B
|
A |
L |
+∞ |
–∞ |
L’
|
S➜L+L’ |
S➜+∞ |
S➜–∞ |
|
+∞ |
S➜+∞ |
S➜+∞ |
? |
|
–∞ |
S➜–∞ |
? |
S➜–∞ |
Il n’y a qu’un seul cas
d’indétermination : Quand certains termes de la somme tendent vers +∞ et d’autres vers –∞
(A
et B
« tirent en sens
contraire » dans la somme.)
Dans ce cas, tout dépend de
l’ordre de grandeur de A par
rapport à B.
La limite sera, le plus
souvent +∞ ou –∞ (rarement un nombre fini).
Exemple
(x2
+ x) .
On est dans un cas
d’indétermination car
x2 = +∞ et x = –∞ .
Mais l’ordre de grandeur de x2
est supérieur à celui de x et on va avoir
(x2 + x) =
+∞ .
On en fera la démonstration
ultérieurement.
Par contre
(x2
+ x) n’est pas indéterminée car (+∞) + (+∞) = +∞
Limite
d’un quotient
Comment se comporte le
quotient Q = selon que A
et B tendent vers une limite nulle, finie (L ou
L’≠ 0) ou
infinie ±∞ ?
On peut considérer que Q est le produit de A par et se référer à la règle du produit.
Pour la règle est la suivante :
B
|
0 |
L |
+∞ |
–∞ |
|
±∞ |
|
0 |
0 |
Si B ➜ 0+ (B➜0 avec
B>0 limite à droite) l’inverse de B est positif, donc il tend vers +∞ .
Si B ➜ 0– (B➜0 avec B<0
limite à gauche) l’inverse de B est
négatif donc il tend vers –∞ .
Pour Q
, quotient de A par B , on
obtient le tableau suivant
B
|
A |
0 |
L |
+∞ |
–∞ |
0
|
? |
±∞ |
±∞ |
±∞ |
|
L’ |
0 |
L/L’ |
±∞ |
±∞
|
|
+∞ |
0 |
0 |
? |
?
|
|
–∞ |
0 |
0
|
?
|
? |
Les cas d’indétermination se
produisent quand numérateur et dénominateur « tirent en sens
contraire ».
L’un tend à ramener Q vers zéro et
l’autre vers ±∞.
C’est le cas pour
Quel que soit le polynôme, on
peut mettre son terme de plus haut degré en facteur de la façon suivante,
illustrée pour le degré 2 :
p(x) = ax2 + bx
+ c = ax2 (1 + ) .
Quand x va tendre vers
l’infini, les termes comportant x au dénominateur vont tendre vers 0.
Si bien que (1 + ) = 1 . D’où
on déduit que
P(x) = ax2 .
Le même procédé appliqué à un
polynôme de degré n permet de
démontrer le résultat suivant :
Très important : Quand X ➜±∞ , un
polynôme anXn + an–1Xn–1+… + a0X0 se comporte comme son terme de plus haut
degré anXn |
Cela permet de lever
certaines indéterminations telles que
(x2 + x) (on se trouve dans le cas +∞ + ( –∞)
) = x2 = +∞
Limite
d’un quotient de polynômes quand x ➜ ±∞
Du résultat précédent (limite
d’un polynôme) on déduit :
Exemples
En somme on a
● si degré de D = degré de N : lim Q = a
nombre non nul
● si degré de D
> degré de N : lim Q = 0
● si degré de D
< degré de N : lim Q = ±∞
Limite d’un quotient de polynômes quand x ➜ a
(qui annule le dénominateur)
Rappelons que
Pour que f(x) ait
une limite quand x ➜a , il faut que : limite à gauche = limite droite. |
● On factorise
autant que possible le numérateur et le dénominateur de f(x) .
● Cas d’un facteur commun au
numérateur et au dénominateur
Si on trouve par exemple f(x)=.
f(x) n’est
pas définie pour x= –3 mais
on peut écrire après simplifications par (x+3) que .
La limite est indépendante de
la façon dont x tend vers –3 .
● Cas sans facteur commun au
numérateur et au dénominateur
Mais si f(x) = . La fonction n’est toujours pas définie pour x = –3
● si l’on pose A(x) = f(x) dont on
a exclu le facteur (x+3)
Au voisinage de x = −3 , f (x) va se comporter comme ou
selon que (x+3) va tendre vers 0
par valeur positive ou négative.
Au voisinage de x = −3
A (x) =
● Donc quand x➜–3 , A(x) est positif et de signe stable (7/2 est positif)).
● Tandis que (x+3) va être voisin de 0 mais en changeant de signe selon que x < –3 ou x > –3, ce qui va faire basculer la limite de f(x) de –∞ à +∞ .
l Limite à gauche :
Si x < –3 alors (x+3)
négatif donc = –∞
(signe de 7/2 divisé par x+3
= – )
● Limite à droite :
Si x > –3 alors (x+3)
positif donc = +∞
(signe de 7/2 divisé par x+3
= + )
● Les 2 limites, (à gauche et à droite) étant différentes, on
ne peut pas dire que f(x) a une
limite
pour x➜ –3.
On parle d’asymptote quand la
courbe tend à se rapprocher indéfiniment d’une droite, sans l’intercepter.
asymptote
horizontale : y ➜ a quand x ➜±∞
(exemple f(x) = 1/x :
➜ 0 quand x ➜ ±∞)
asymptote
verticale : y➜ ±∞ quand x ➜ a (a+
ou a–)
(exemple f(x) = 1/x : ➜ ±∞ quand x ➜ 0 )
asymptote
oblique : y ➜ ±∞ quand x➜ ±∞ mais il existe a et b réels tels
que
[ y – (ax+b)] è 0 quand x ➜ ±∞
Test : si il existe une asymptote oblique d’équation y =ax + b
Calcul
de b: une fois a calculé par le test précédent
Branche
infinie : y➜ ±∞ quand x➜±∞ mais il n’y a pas
d’asymptote oblique
(par exemple f(x) = x2)
Positions
relatives de 2 graphes en x = x0.
Il arrive qu’on se pose la
question de savoir si la courbe graphe de f(x) est située au dessus ou au dessous d’une droite d’équation
y = ax + b (ou y = b) ou plus généralement du graphe d’une autre
fonction g(x).
Pour x donné
f(x) est au dessus de
g(x) si f(x) – g(x) > 0
f(x) est au dessous de
g(x) si f(x) – g(x) < 0
En effet, par exemple f(x) > g(x)
s’écrit aussi si f(x) – g(x) > 0
Pour savoir si le graphe de f(x) est au dessus ou au dessous d’une asymptote
horizontale ou oblique quand x tend vers ±∞ , on raisonne de la
même façon et on étudie le signe de lim [f(x) – g(x)] quand x ➜ ±∞ (g(x) étant l’équation de l’asymptote) .
Composition des limites
Si f(x) a pour limite L quand x ➜ a g(x) a pour limite L’ quand x ➜ L Alors g ○ f (x) a pour limite L’ quand x➜ a |
Domaines
de définition :
Df
doit contenir un voisinage de a et Dg un voisinage de L
Théorème non généralisable
aux limites à droite ou à gauche.
Pratiquement, ce théorème est
utile pour déterminer les limites des fonctions déduites des fonctions usuelles
par un changement de variable.
Par exemple si on nous demande la limite de quand x ➜ +∞ , on peut poser U = ,
dire que la limite de U quand
x ➜+∞ est 0 et donc que la limite cherchée est
celle de eU quand U ➜ 0
soit 1 .
Minorer ou majorer une fonction par une autre
À rapprocher du théorème des gendarmes .
● Au voisinage de x = a si f < g alors lim
f ≤ lim g
● Au
voisinage de x = a si f < g et lim f = +∞ alors lim
g = +∞
on peut trouver d’autres
théorèmes de ce type : par exemple si f et g positives ,
f < g et lim g = 0 alors, lim
f = 0 .
Suites
Ce type de résultat peut être
transposé aux suites qu’on peut souvent considérer comme la restriction de
fonctions à N . Par exemple si Un = 2n + 1
on peut considérer que c’est la restriction à N de f : x ➜ 2x +
1 .
La
convergence de suites monotones est souvent liée à leur bornage. Par
exemple :
Si Un
est une suite croissante
Soit
elle est majorée et elle converge vers sup (Un )
Soit
elle n’est pas majorée et elle diverge vers + ∞
Quelques limites à connaître
On étudie d'abord ln x à
partir de sa définition (aire algébrique) et de sa dérivée 1/x:
|
La fonction ln x n'est
définie que pour x > 0 à cause de la discontinuité du graphe de 1/t pour t =
0 . (l'aire située sous la courbe y = 1/t n'a plus
aucun sens quand t devient £
0).
La dérivée 1/x est toujours
positive pour x > 0 donc
ln x
est strictement croissante .
On a ln 1 = 0 (aire entre t=1
et t=1)
ln x > 0 pour x > 1 et quand x➜+∞ , ln x ➜ +∞
(l'aire comprise entre t=1 et
t=x est positive quand x > 1 et devient infinie quand x devient infini) .
ln x < 0 pour x < 1 et quand x ➜0+ , ln x → -∞
(aire négative et devenant
infinie quand x tend vers 0) .
Logax est déduite de ln x par division par la constante ln
a qui peut être plus grande ou plus petite que 1 et même négative quand a est
entre 0 et 1 (courbe décroissante) .
Comparer ln x , ax , x⍺ pour ⍺ > 0 et a >1 (e entre dans ce cas)
en +∞ les 3
fonctions tendent vers +∞ ; donc on compare leurs quotients (somme et produits
sont déterminés)
l'ordre de croissance est ln x < x⍺ < ax donc les quotients tendent vers 0 quand x→+∞
en 0+ , ax = 1 est hors circuit . x⍺ ➜ 0 et ln x ➜ -∞. Somme et quotient sont déterminés .
Reste le produit .
x⍺ qui tend vers 0 l'emporte sur ln x qui tend
vers -∞ , donc x⍺.ln x tend vers 0 quand x➜0+ .
en -¥ , ln x n'est pas définie . ax→ 0 et |x|a → +∞ . Là encore , seul le produit est indéterminé .
ax tend vers 0
plus vite que |x|⍺ ne tend vers +∞ , donc |x|a.ax tend
vers 0 quand x → -∞ .
CONTINUITE
Fonction continue en a si et seulement si
● f(a)
existe (a Î Df) ●
Fonction continue à droite
pour x ≥ a (ou à
gauche pour x ≤ a )
Si La limite à droite de
f(x) existe et est égale à f(a)
Fonction continue sur un sous
ensemble I de Df
Si
f(x) est définie et continue en tout point de I (le plus souvent un intervalle)
Fonction continue
Si
elle est continue en tout point de Df
L’exemple des fonctions définies
par morceaux.
● on
fait une partition de R en intervalles disjoints par exemple (–∞ , -2[ U [-2 ; +3[ U [+3 ; +∞ )
● Et
sur chaque intervalle, on définit f(x) différemment
E(x)
= partie entière de x est assimilable à une fonction définie par morceau.
Autre
exemple f(x) = x sur (–∞ ,
1[ et f(x)
= x+1 sur [ 1 ; +∞)
f(x) est donc définie sur R . Pour x = 1 ; f(x) est égale à x + 1 soit f(1) = 2.
Le graphe de cette fonction
est le suivant :
Il
faut exclure le point (1,1) de la demi
droite inférieure et rattacher le point
(1,2) à la demi droite supérieure.
L’image
d’une boule ouverte centrée sur 1 (en rouge) est une réunion d’intervalles
disjoints (en bleu). Si le rayon de la boule est ⍺ , ces intervalles sont
] 1–⍺ , 1[ U [ 2 , 2+ ⍺ [ .
Quel
que soit ⍺, pour contenir la totalité de cet intervalle, il faut
une boule de rayon supérieur à 1. Donc si je choisis une boule de rayon 0,5
centrée n’importe où, elle ne pourra jamais contenir la totalité de cet
intervalle et f(x) n’admet pas de limite pour x = 1.
Mais
f(x) admet une limite à gauche (1) et à droite (2) .
Conclusion :
la fonction n’est pas continue en x = 1 (le graphe en témoigne), elle est
continue à droite car à droite lim f(x) = f(1) = 2 mais pas à gauche car à gauche lim (fx) = 1 différent de f(1).
● La plupart des
fonctions usuelles (polynômes, sin x, ln (x), ex, …) sont continues. Les fractions
rationnelles N(x) / D(x) le sont aussi car on a exclu les valeurs qui annulent
le dénominateur du domaine de définition.
Prolongement en continuité
Si f
n’est pas définie en a mais que on prolonge la
fonction en continuité par f(a) = b.
On en
a vu un exemple pour x / x, prolongée en 0 par 1. peut être prolongée en
0 par 0
Théorème des valeurs
intermédiaires
Si f
est continue sur l’intervalle [ a , b ], pour tout y
de l’intervalle [ f(a) , f(b)] , il existe au moins un x entre a et b tel que
f(x) = y. Attention : la réciproque
n’est pas vraie .
Pour
notre fonction définie par morceaux, on voit bien que si x ∈ [1 -⍺ , 1 +⍺],
l’intervalle [ f(a) , f(b] est [ 1 - ⍺ , 2+⍺] qui
contient 1,5. mais 1,5 n’a pas d’antécédent par f. Donc f n’est pas continue.
Combinaisons de fonctions
continues
Soient
f et g définies et continues sur un intervalle [ a ,
b]
● f + g
est continue sur [ a , b]
● λ
.
f est
continue sur [ a , b]
● f
g est continue sur [ a , b]
● f / g
est continue sur [ a , b] privé des points qui annulent g
● si
l’image de [ a , b] par f est E et que g est continue sur E alors g ○ f
est continue sur [ a , b]
C’est
grâce à ces propriétés qu’on démontre la continuité de la plupart des fonctions
à partir de la continuité des fonctions usuelles, considérée comme admise.
Image d’un intervalle
Soit
f une fonction définie et continue sur [ a , b ]
● si la
fonction est monotone sur cet intervalle, f ([ a , b ] ) = [f(a) , f(b)]
(fonction croissante) ou
f ([ a , b ] ) = [f(b) , f(a)]
(fonction décroissante)
● si la
fonction n’est pas monotone (elle admet au moins un maximum ou un minimum sur
[a , b]) les bornes de l’intervalle
image seront, selon le cas, parmi les nombres suivants
{ f(a)
, f(b), Max (f(x)) , Min (f(x)) } .Exclusivement .
● Dans tous
les cas, la fonction est majorée et minorée.
● Dans tous
les cas, l’image d’un intervalle est un intervalle mais l’image d’un ouvert (ou
fermé) n’est pas forcément l’image d’un ouvert (ou fermé). Sauf dans le cas des
fonctions monotones.
Il y
a des cas particuliers tels que tan (x) , l’image de
]–π/ , + π/2[ est R
ou ex (l’image de R– est ]0 , 1])
qui
nous obligent à considérer R ou R– comme un intervalle.
Bijections continues
Voici
3 assertions
● f est
continue sur [ a, b ]
● f est
monotone sur [ a, b ]
● f est
bijective sur [ a, b ]
Quand
deux d’entre elles sont vraies, la 3e l’est aussi.
● Si f
est bijective sur [ a, b ] , alors f–1 définie soit sur [f(a) , f(b)] , soit sur [f(b) , f(a)] existe
et c’est aussi une fonction continue.
C’est
le cas de Arc sin , Arc cos, Arc tan fonction
réciproques de sin , cos , tan ou de ex réciproque de ln x .